멀티미터를 이용하여 RC 회로 공부하기 1 - 논문 번역
멀티미터를 이용하여 RC회로 공부하기
John G. King and A.P. French
Physics Department, Massachusetts Institute of Technology
The Physics Teacher Vol 33, March 1995
번역 홍명수
이 실험은, 멀티미터(standard magnetic multimeter)에서 저항의 측정은 내부 건전지에 의해 입력 단자 양단에 연결된 미지의 저항기를 통과하는 전류로 측정된다는 사실에 바탕을 두고 있다. 멀티미터 내부의 회로는 다른 저항기들을 포함하고 있다. 이 저항기들은 본래 이 기구의 핵심인 가동 코일형 마이크로전류계에 병렬로 연결된 분류기(shunt)1)를 제공함으로써 서로 다른 범위의 저항 측정을 가능하게 해준다. 주어진 측정 범위에 대해, 외부저항이 더 클수록 전류는 더 약하게 흐른다. 지침이 끝까지 움직임(full-scale deflection)은 외부저항 0에 해당한다. 물론 지침이 0에 있으면 무한한 저항에 해당한다.
만약 외부저항기 대신에 단자 양단에 축전기를 연결한다면, 이 축전기와 내부저항은 RC 조합을 형성한다. 회로가 완성되자마자 축전기는 충전되기 시작한다; 충전 전류는 시간에 따라 감소하고 축전기 양단의 전위차가 내부 전지의 전압에 근접할수록 전류는 0에 가까워진다.
이론
배열(arrangement)의 기본 이론은 매우 간단하다. 비록 실험이 저항 측정 세팅 중의 하나에 대해 멀티미터를 사용한다는 것에 의존하고 있지만, 마치 멀티미터가 dc 범위 중의 하나에 대해 사용되는 것처럼 단지 dc 전류를 측정하고 있는 것이다(비록 그 경우에는 외부전원에 의해 전류가 멀티미터를 흐르지만 말이다). 이 실험에서 축전기로 들어가는 충전 전류를 측정하기 위하여, 눈금 측정은 dc 전압 혹은 전류용 선형적 척도 중의 어느 하나(눈금판의 왼쪽 끝이 0이다)에 대해 측정이 이루어진다. 그림 1은 배열을 도식적으로 보여주고 있다.
내부 전지의 전압을 V0, 내부 저항을 R이라고 하자. (이 저항은 멀티미터 내부의 각각의 저항기들의 직렬과 병렬 연결을 합성한 값이라는 정확한 방법은 여기서는 고려될 필요가 없다. 중요한 것은 멀티미터의 눈금이 어느 순간에나 축전기의 충전 전류의 상대적인 옳은 측정값을 보여주고 있다는 것이다.)
시간 t에서의 축전기 C 양단의 전압을 V(t)라고 하자. 그러면 축전기로 들어가는 전류는 임의의 시간에서 다음과 같이 주어진다.
I(t)=(V0-V)/R=C(dV/dt) (1)
t=0일 때 V=0이라고 가정하고, 이 식을 V(t)에 대하여 풀면 다음과 같다.
V(t)=V0(1-e-t/RC) (2)
또한 다음의 식을 얻을 수 있다.
I(t)=(V0/R)e-t/RC = (V0/R)e-t/τ (3)
그러므로 기대했듯이, 충전 전류는 시간에 따라 지수적으로 감소한다. 여기서 시상수 τ는 외부 전기용량과 내부저항의 곱과 같다. t =0일 때, 계측기의 지침이 끝까지 움직일 것이다. 이것은 마치 주어진 저항 측정 범위에서 외부저항이 0에 연결되었을 때와 같다.
실험
이 실험은 MIT 학부 1학년의 핸즈온 활동을 위해 제공되는 키트에 있는 저렴한 멀티미터를 사용하여 수백 명의 학생들에게 숙제로 해오도록 한 것이었다. 그러한 많은 계측기들처럼, 멀티미터의 등급(rating)은 단위 볼트 당 20,000옴-즉 임의의 dc 영역에 대해 50μΑ의 최대 편향 눈금-이다. R×1 스케일에서, 지침이 끝까지 움직이는 것의 50%에 해당하는 저항의 눈금은 24Ω으로 표시되어 있다. 이것은 이 범위에서 내부 저항이 또한 24Ω임을 의미한다. 마찬가지로 R×1K 범위에 대해 내부 저항은 24kΩ이다. 만약 이 후자의 범위에서 1000μF 축전기가 멀티미터 양단에 연결되어 있다면 그 조합에서의 시상수는 이론적으로 24초이고, 이것은 측정을 위해 매우 편리한 값이다. 그러므로 dc 25V-1000μF라고 표시된 전해 축전기의 흔한 타입이 이상적으로 이 실험에 적합하다.
이 실험을 수행할 때, 극성에 맞게 축전기를 사용하기 위해서는 축전기의 (-)단자는 멀티미터의 (+)입력 단자에 연결되어야 한다. 왜냐하면 내부 건전지의 (+)극은 저항측정범위에서 멀티미터의 COM(-) 단자에 연결되어 있기 때문이다.
반(半)로그(semilogarithmic)그래프2)(그림2)는 시간에 따른 전류의 감소라는 전형적인 측정 결과를 보여준다. 이 그래프로부터 시상수는 27.5초로 추론된다. 기대값 24초와 비교하여 보면, 이 차이는 이 전해축전기의 경우에 허용오차 범위 안에 있다.
여기서 사용된 이 타입의 전해 축전기가 매우 저렴하고 대부분의 실험실이 멀티미터를 가지고 있기 때문에 이 실험은 아마도 거의 모든 물리 수업에서 수행될 수 있을 것이다. 눈금을 측정하는 데는 단지 몇 분만이 걸릴 뿐이다.
어쨌든 위의 논의에 영향을 미치지 않는 하나의 항목은 Micronta 멀티미터 안의 실제 가동 코일형 계측기가 37μA의 전류에 대해 지침이 끝까지 이동한다는 것이다. 멀티미터의 내부 회로는 기구(imstrument)의 모든 dc 범위에 대해 50μA의 주 전류에 대해 이렇게 지침의 끝까지 이동하도록 분류기 저항을 포함하고 있다. (덧붙이자면, 그러한 어느 멀티미터든지 단순한 회로 분석 연습의 풍부한 원천으로 기여할 수 있다. 단일한 가동 코일형 마이크로전류계를 매우 다양한 전압, 전류, 저항 측정에 이용할 수 있게 해주는 저항 및 스위치의 독창적 배열들을 분석해내는 데 이 멀티미터 회로도를 이용하라고 학생들에게 요구한다면 말이다.)
디지털 멀티미터를 사용한 실험
위에서 기술한 정교한 형태의 실험은 디지털 멀티미터로는 가능하지 않다. 디지털 멀티미터는 좀 더 복잡한 내부회로를 가지고 있다. 그러나 RC회로에서 축전기의 지수적 방전을 공부하기 위하여 이러한 미터를 사용할 수 있다. 방법은 적절한 시상수를 가진 조합이 되도록 저항기와 축전기를 구하여 멀티미터의 양단에 이들을 병렬로 연결하는 것이다.
우선 계측기를 저항 측정 세팅에 놓는다면, 축전기는 어느 최대 한도까지 충전되기 시작한다. 그리고 나서 세팅을 DC V로 바꾼다면 미터기는 축전기 양단의 감소하는 전압을 읽는다. 그러나 복잡함이 있다. 멀티미터의 입력 임피던스가 약 200mV 이상의 전압의 경우 약 10MΩ이지만, 200mV 이하의 경우에는 수백 MΩ까지 올라간다. 그러므로 일반적으로 시스템의 시상수는 축전기의 전압이 약 200mV를 통과할 때 갑자기 변할 것이다.
이것이 중대한 효과인지 아닌지는 물론 외부저항의 크기에 달려 있다. 예를 들면, 만약 마그네틱 멀티미터를 사용한 실험에서와 같이 24kΩ의 저항과 함께 1000μF 축전기를 사용한다면, 멀티미터의 내부 임피던스는 모든 조건하에서 외부저항에 비해 매우 크고, 그 효과는 무시될 수 있다. 그러나 만약 외부 저항이 10MΩ과 유사하다면 그 효과는 중요하다. 이 경우에 약 200mV 이상의 전압의 경우, 내부 임피던스는 외부 저항에 비해 크지 않다. 그러나 200mV 이하의 전압으로 관찰을 제한함으로써, 이 상황에서 시간에 따른 전압의 규칙적인 지수적 함수를 관찰하여 외부 요소들만의 조합의 시상수를 추론할 수 있다.
그림 3은 이러한 경우에 시상수의 갑작스런 변화의 예를 보여준다; 그래프의 후반부만이 외부 요소들만의 시상수에 해당된다. 이 그래프는 10μF의 전기용량과 6.8MΩ의 외부저항을 가지고 얻어진 결과이다. 약 200mV 이상의 전압의 경우, 외부 저항과 미터기 임피던스는 RC 조합의 R을 약 4MΩ으로 만든다. 이러한 더 높은 전압의 경우, 측정된 시상수는 약 80초이다; 200mV 이하의 경우 시상수는 약 130초가 된다(그래프에서 보듯이 실제적인 분기점은 약 180mV에서 일어난다). 두 영역에서 시상수의 비율을 계산하면 (200mV 이상에서 내부 임피던스가 10MΩ이라고 가정하면) 1.68이다; 관찰된 비율은 약 1.64로 꽤 잘 일치한다. 그러나 시상수의 관찰된 절대값으로부터 판단되듯이 진정한 전기용량은 거의 규격값의 두 배로 보인다. (이러한 전해 축전기의 경우에는 특이한 것은 아니다. 여기서 정확한 값은 보통의 사용에서 중요하지 않다.) 1000μF 축전기와 6.8MΩ 저항기를 사용하는 또 다른 실험은 시상수의 관찰값과 계산값이 꽤 일치함을 보여주었다. 그러나 이 후자의 시스템에서 시상수는 바람직하지 못하게도 길었다.
1) 하나의 회로단위에 대한 두 갈래(병렬)의 회로접속. 션트라고도 한다. 가령 눈금 한도가 1 mA인 전류계를 그대로 10 A의 전류가 흐르는 회로에 접속시키면 전류계가 파손되므로 전류계에 작은 저항값의 저항을 접속하여 대부분의 전류가 저항 쪽으로 흘러가게 하는 것이 좋다. 이 저항이 분류기이다. 분로라고도 한다.
2) 축에 보통눈금(등분눈금)을, y축에 로그눈금으로 그린 그래프이다.
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